The Brother Comunity ( TBC ): Oktober 2013

Kamis, 03 Oktober 2013

Limit Fungsi

0 komentar Diposting oleh Unknown di 12.51

Pengertian tentang limit dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini.

Contoh: Perhatikan fungsi

untuk nilai x yang mendekati 1

x	0	0,9	0,95	0,98	…	1,0001	1,0005	1,05	1,1
f(x)	1	1,9	1,95	1,98	…	2,0001	2,0005	2,05	2,1

Gambar grafiknya:

Dari gambar dan tabel dapat disimpulkan:
→ Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2

→ Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2

→ Jadi, jika x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2

Teorema:

Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya tidak ada

Hasil limit tidak boleh bentuk tak tentu:

Sifat-Sifat Limit

Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:

1. Substitusi langsung
Contoh:

2. Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0)
Contoh:

Ingat:

(a² – b²) = (a – b)(a + b)

(a³ + b³) = (a + b)(a² – ab + b²)

(a³ – b³) = (a – b)(a² + ab + b²)

3. Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)
Contoh:

4. Untuk limit tak terhingga:
→ Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi
→ Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru dibagi pangkat tertinggi
Sifat operasi dengan ∞:

Contoh:

Cara cepat!
→ Untuk bentuk pecahan:

Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil =∞
Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil =0
Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil =koefisien pangkat tertinggi atas : koefisien pangkat tertinggi bawah

Contoh 1:

Contoh 2:

Contoh 3:

→ Untuk bentuk

Contoh:

5. Limit trigonometri:

Untuk cosinus:
1 – cos ax = 2 sin²½ ax (dari rumus cos 2x)
cos ax – 1 = –2 sin² ½ ax (dari rumus cos 2x)
1 – cos²ax = sin²ax (dari sin²x + cos²x = 1)

Bilangan e

Bilangan e didapat dari:

e = 2,718281828…

Rumus-rumus pengembangannya:

Kontinuitas

Suatu fungsi kontinu di x = a jika:
1. f(a) ada (dapat dihitung/real)
2.

Ilustrasi:

Pasangan terurut
Contoh:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}
Himpunan semua pasangan terurut dari A dan B adalah:
{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

Relasi
Relasi adalah himpunan dari pasangan terurut ang memenuhi aturan tertentu
Contoh:
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4}
Jika ada relasi R dari A ke B dengan aturan ”faktor dari”, maka himpunan pasangan terurut untuk relasi tersebut adalah:
R = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (4, 4)}
Diagram panahnya:

Fungsi
Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke hanya satu anggota himpunan B
Notasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B
A disebut domain (daerah asal)
B disebut kodomain (daerah kawan)
Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebut range (daerah hasil)
Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)
dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas)
Contoh:

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:
Domain = D_f = {1, 2, 3, 4}
Range = R_f = {2, 4}

Menentukan Daerah Asal Fungsi

Agar suatu fungsi terdefinisi (mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real), maka ada beberapa syarat yang harus dipenuhi.
1. Fungsi di dalam akar

2. Fungsi pecahan

3. Fungsi dimana penyebutnya adalah fungsi lain dalam bentuk akar

4. Fungsi logaritma

Contoh:
Daerah asal untuk fungsi

adalah:
x² + 3x – 4 > 0
(x + 4)(x – 1) > 0
Pembuat nol: x = –4 dan x = 1
Jika x = 0 maka hasilnya 0² + 3.0 – 4 = –4 (negatif)

Jadi D_f = {x | x < –4 atau x > 1}

Aljabar Fungsi

Jika f : x → f(x) dan g : x → g(x) maka:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f – g)(x) = f(x) – g(x)
(f × g)(x) = f(x) × g(x)

Daerah asalnya:
D_f+g, D_f–g, D_f×_g = D_f ∩ D_g (irisan dari D_f dan D_g)
D_f/g = D_f ∩ D_g dan g(x) ≠ 0

Komposisi fungsi

Notasi:
f komposisi g dapat dinyatakan dengan f o g (dapat juga dibaca ”f bundaran g”)
(f o g)(x) = f(g(x)) (g dimasukkan ke f)
Ilustrasi:

Contoh: f(1) = 2, g(2) = 0, maka (g o f )(1) = g(f(1)) = g(2) = 0
Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
1. Tidak bersifat komutatif

(f o g)(x) ≠ (g o f)(x)

2. Asosiatif

(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)

3. Terdapat fungsi identitas I(x) = x

(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Contoh 1:
f(x) = 3x + 2
g(x) = 2x + 5
h(x) = x² – 1
Cari (f o g)(x), (g o f)(x), dan (f o g o h)(x)!
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 5)
= 3(2x + 5) + 2
= 6x + 15 + 2 = 6x + 17
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2)
= 2(3x + 2) + 5
= 6x + 4 + 5 = 6x + 9
(f o g o h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x² – 1))
= f(2(x² – 1) + 5)
= f(2x² – 2 + 5)
= f(2x² + 3)
= 3(2x² + 3) + 2
= 6x² + 9 + 2 = 6x² + 11
atau dengan menggunakan rumus (f o g)(x) yang sudah diperoleh sebelumnya,
(f o g o h)(x) = (f o g)(h(x)) = (f o g)(x² – 1)
= 6(x² – 1) + 17
= 6x² – 6 + 17
= 6x² + 11

Contoh 2:
f(x) = 3x + 2
(f o g)(x) = 6x + 17
Cari g(x)!
(f (g(x)) = 6x + 17
3.g(x) + 2 = 6x + 17
3.g(x) = 6x + 17 – 2
3.g(x) = 6x + 15
g(x) = 2x + 5

Contoh 3:
g(x) = 2x + 5
(f o g)(x) = 6x + 17
Cari f(x)!
f(2x + 5) = 6x + 17
misalkan: 2x + 5 = a → 2x = a – 5
f(a) = 3(a – 5) + 17
f(a) = 3a – 15 + 17
f(a) = 3a + 2
f(x) = 3x + 2

Contoh 4:
f(x) = x² + 2x + 5
(f o g)(x) = 4x² – 8x + 8
Cari g(x)!
f(g(x)) = 4x² – 8x + 8
(g(x))² + 2g(x) + 5 = 4x² – 8x + 8
Gunakan cara melengkapkan kuadrat sempurna
(g(x) + 1)² – 1 + 5 = 4x² – 8x + 8
(g(x) + 1)² = 4x² – 8x + 8 – 4
(g(x) + 1)² = 4x² – 8x + 4
(g(x) + 1)² = (2x – 2)²
g(x) + 1 = 2x – 2 atau g(x) + 1 = –(2x – 2)
g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3
atau
f(g(x)) = 4x² – 8x + 8
(g(x))² + 2g(x) + 5 = 4x² – 8x + 8
Karena pangkat tertinggi di ruas kanan = 2, maka misalkan g(x) = ax + b
(ax + b)² + 2(ax + b) + 5 = 4x² – 8x + 8
a²x² + 2abx + b² + 2ax + 2ab + 5 = 4x² – 8x + 8
a²x² + (2ab + 2a)x + (b² + 2ab + 5) = 4x² – 8x + 8
Samakan koefisien x² di ruas kiri dan kanan:
a² = 4 → a = 2 atau a = –2
samakan koefisien x di ruas kiri dan kanan:
untuk a = 2 → 2ab + 2a = –8
4b + 4 = –8
4b = –12 → b = –3
untuk a = –2 → 2ab + 2a = –8
–4b + 4 = –8
–4b = –12 → b = 3
Jadi g(x) = 2x – 3 atau g(x) = –2x + 3

Invers Fungsi

Notasi
Invers dari fungsi f(x) dilambangkan dengan f^–1 (x)

Ilustrasi

Contoh: Jika f(2) = 1 maka f^–1(1) =2
Jika digambar dalam koordinat cartesius, grafik invers fungsi merupakan pencerminan dari grafik fungsinya terhadap garis y = x

Sifat-Sifat Invers Fungsi:

(f^–1)^–1(x) = f(x)
(f o f^–1)(x) = (f^–1 o f)(x) = I(x) = x, I = fungsi identitas
(f o g)^–1(x) = (g^–1 o f^–1)(x)

Ingat: (f o g^–1)(x) ¹ (f o g)^–1(x)

Mencari invers fungsi

Nyatakan persamaan fungsinya y = f(x)
Carilah x dalam y, namai persamaan ini dengan x = f^–1(y)
Ganti x dengan y dan y dengan x, sehingga menjadi y = f^–1(x), yang merupakan invers fungsi dari f

Contoh 1:
f(x) = 3x – 2
invers fungsinya:

Contoh 2:

Cara Cepat!

Contoh 3:
f(x) = x² – 3x + 4
Invers fungsinya

Contoh 4:

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

0 komentar Diposting oleh Unknown di 12.50

Fungsi/Pemetaan

Fungsi, atau disebut juga pemetaan, merupakan sebuah relasi yang khusus. Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A, dengan tepat satu anggota B. Jadi, fungi sudah pasti sebuah relasi, tetapi relasi belum tentu sebuah fungsi.

Manakah yang merupakan fungsi?

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan x anggota A ke y anggota B, maka fungsi f dapat dinotasikan sebagai berikut:

$f: x \rightarrow y$ atau $f(x)=y$

Jika $x \in A , b \in B$ dan fungsi f memetakan x ke y, maka y merupakan peta/bayangan dari x. Pada fungsi tersebut, himpunan A disebut daerah asal atau domain (Df), himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain (Kf), sedangkan himpunan semua peta A di B disebut daerah hasil atau range (Rf).

Untuk jenis dan macam-macam fungsi sebenarnya ada banyak, misal fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linear, fungsi kuadrat, fungsi genap dan fungsi ganjil, fungsi modulus, maupun fungsi tangga. Mudah-mudahan bisa dibahas di lain kesempatan. Untuk postingan kali ini cukup membahas fungsi komposisi dan fungsi invers. Harap maklum

Fungsi Komposisi

Fungsi Aljabar
Sebelum ke fungsi komposisi, ada baiknya mempelajari terlebih dahulu fungsi aljabar. Apabila f dan g merupakan fungsi dari x, maka operasi aljabar yang dapat dilakukan adalah sebagai berikut:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$
$(f \times g)(x)=f(x) \times g(x)$
$(\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
$f^n(x)=[f(x)]^n$

contoh:
Diketahui $f(x)=3x-1 ; g(x)=3-2x$ maka:

$\begin{array}{rcl} (f+g)(x)&=&f(x)+g(x) \\ &=& (3x - 1) + (3 - 2x) \\ &=& x + 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} (f-g)(x)&=&f(x)-g(x) \\ &=& (3x-1)-(3-2x) \\ &=& 5x -4 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} (f \times g)(x)&=&f(x) \times g(x) \\ &=& (3x-1)(3-2x) \\ &=& -6x^2+8x-3 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} (\frac{f}{g})(x)&=&\frac{f(x)}{g(x)} \\ &=& \frac{(3x-1)}{(3-2x)} \end{array}$

Fungsi Komposisi

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke B $(f:A \rightarrow B)$ dan g adalah fungsi dari B ke C $(f:B \rightarrow C)$ , maka suatu fungsi h dari A ke C $(h: A \rightarrow C)$ disebut fungsi komposisi. Fungsi komposisi tersebut dinyatakan dengan $h = g \circ f$ (dibaca: g bundaran f)

Fungsi Komposisi: (f o g)(x) = f(g(x))

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

Fungsi Komposisi: (g o f)(x) = g(f(x))

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$

Sifat-sifat Komposisi Fungsi

1. Pada umumnya tidak komutatif

$(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)$

2. Operasi komposisi pada fungsi bersifat asosiatif

$(f \circ (g \circ h))(x) = ((f \circ g) \circ h)(x)$

3. Terdapat fungsi identitas $I (x) = x$

$(f \circ I)(x) = (I \circ f)(x) = f(x)$

Contoh soal fungsi Komposisi:
Diketahui : fungsi $f(x)=x-1 ; g(x) = x+2 ; h(x) = x^2-1$ maka

$\begin{array}{rcl}(f \circ g)(x) &=& f(g(x)) \\ &=& f(x+2) \\ &=& (x+2) -1 \\ (f \circ g)(x) &=& x+1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}(g \circ f)(x) &=& g (f(x)) \\ &=& g(x-1) \\ &=& (x - 1) + 2 \\ (g \circ f)(x) &=& x-1\end{array}$

$\begin{array}{rcl}(g \circ h \circ f)(x) &=& g(h(f(x))) \\ &=& g(h(x-1)) \\ &=& g((x-1)^2 - 1) \\ &=& g(x^2 - 2x) \\ &=& (x^2 -2x) + 2 \\ (g \circ h \circ f)(x) &=& x^2 - 2x + 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcl}(h \circ f \circ g)(x) &=& h(f(g(x)) \\ &=& h(f(x+2)) \\ &=& h((x+2)-1) \\ &=& h(x+1) \\ &=& (x+1)^2 - 1 \\ &=& (x^2 + 2x + 1)-1 \\ (h \circ f \circ g)(x) &=& x^2 + 2x\end{array}$

Fungsi Invers

Apabila f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka invers fungsi f adalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A. Jadi, invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi, maka invers tersebut dinamakan fungsi invers dari fungsi semula.

Jika fungsi $f: A \rightarrow B$ dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan $f= \{ (x,y) | x \in A , y \in B\}$ maka invers fungsi f adalah $f^{-1}: B \rightarrow A$ dan dinyatakan sebagai $f^{-1}= \{ (x,y) | y \in B , x \in A\}$

Fungsi f mempunyai fungsi invers $f^{-1}$ jika dan hanya jika f merupakan fungsi (korespondensi satu-satu)
Langkah-langkah untuk menentukan rumus fungsi invers apabila fungsi f(x) telah diketahui:

Mengubah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y
Bentuk x sebagai fungsi y tersebut dinamakan $f^{-1}(y)$
Mengganti y pada $f^{-1}(y)$ dengan x, sehingga diperoleh $f^{-1}(x)$

contoh:
Tentukan fungsi invers dari persamaan berikut:
$f(x) = 3-2$ dan $f(x) = \frac{3x+4}{2x-1}$
Jawab:

$\begin{array}{rcl} f(x) &=& 3-2x \\ y &=& 3-2x \\ 2x &=& 3-y \\ x &=& \frac{3-y}{2} \\f^{-1}(y) &=& \frac{3-y}{2} \\ \therefore f^{-1}(x) &=& \frac{3-x}{2}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} f(x) &=& \frac{3x+4}{2x-1} \\ y &=& \frac{3x+4}{2x-1} \\ y(2x-1) &=& (3x+4) \\ 2xy - y &=& 3x + 4 \\ 2xy - 3x &=& y+4 \\ x(2y-3) &=& y+4 \\ x &=& \frac{y + 4}{2y - 3} \\f^{-1}(y) &=& \frac{y+4}{2y-3} \\ \therefore f^{-1}(x) &=& \frac{x+4}{2x-3} \end{array}$

Fungsi Ivers dari Fungsi Komposisi

Rumus untuk fungsi invers dari fungsi komposisi adalah sebagai berikut:

$(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$
$(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$
$(f \circ g \circ h)^{-1} = h^{-1} \circ g^{-1} \circ f^{-1}$

Demikian sedikit ulasan mengenai materi Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers semoga bisa sedikit menambah wawasan kita. Untuk soal-soal latihannya akan ditambahkan di lain waktu. Jika berkenan, silakan berbagi dengan teman lain melalui tombol share di bawah. Kalau masih bingung dan ada yang ingin ditanyakan ditunggu di kolom komentar. Salam.

;;

The Brother Comunity ( TBC )

Labels

Blog Archive

About Me

Total Tayangan Halaman

Blogroll

About

Blogger templates

bagaimna menurut anda blog saya

Translate

Popular Posts

Pengikut

Kamis, 03 Oktober 2013

Limit Fungsi

Sifat-Sifat Limit

Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:

Bilangan e

Kontinuitas

Fungsi

Pengertian

Menentukan Daerah Asal Fungsi

Aljabar Fungsi

Komposisi fungsi

Invers Fungsi

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi/Pemetaan

Fungsi Komposisi

Fungsi Invers

Clock

The Brother Comunity ( TBC )

Labels

Blog Archive

About Me

Total Tayangan Halaman

Blogroll

About

Blogger templates

Langganan atau Pembaca

bagaimna menurut anda blog saya

Translate

Popular Posts

Pengikut

Kamis, 03 Oktober 2013

Limit Fungsi

Sifat-Sifat Limit

Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:

Bilangan e

Kontinuitas

Fungsi

Pengertian

Menentukan Daerah Asal Fungsi

Aljabar Fungsi

Komposisi fungsi

Invers Fungsi

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi/Pemetaan

Fungsi Komposisi

Fungsi Invers

Clock